Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 25 = 75$ y cuya suma es $b = 20$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $20$ de $20 x$ .

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 (x) + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Paso 1.1.2

Reescribe $20$ como $5$ más $15$

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + (5 + 15) x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 5 x + 15 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x^{2} + 5 x) + 15 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x^{2} + 25}{x (3 x + 5) + 5 (3 x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 5$ .

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(3 x + 5) (x + 5), x + 5, 3 x + 5$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $3 x + 5$ es $3 x + 5$ en sí mismo.

$(3 x + 5) = 3 x + 5$

$(3 x + 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $x + 5$ es $x + 5$ en sí mismo.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $3 x + 5$ es $3 x + 5$ en sí mismo.

$(3 x + 5) = 3 x + 5$

$(3 x + 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El MCM de $3 x + 5, x + 5, x + 5, 3 x + 5$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(3 x + 5) (x + 5)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ por $(3 x + 5) (x + 5)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ por $(3 x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} ((3 x + 5) (x + 5)) + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $(3 x + 5) (x + 5)$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} ((3 x + 5) (x + 5)) + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $x + 5$ de $(3 x + 5) (x + 5)$ .

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((x + 5) (3 x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((x + 5) (3 x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 25 + 5 (3 x + 5) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 25 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$x^{2} + 25 + 15 x + 5 \cdot 5 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$x^{2} + 25 + 15 x + 25 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.2.2

Suma $25$ y $25$ .

$x^{2} + 15 x + 50 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $3 x + 5$ .

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Paso 3.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{3 x + 5}$ al numerador.

$x^{2} + 15 x + 50 = \frac{- 5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + 15 x + 50 = \frac{- 5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 (x + 5)$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 x - 5 \cdot 5$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 x - 25$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Suma $5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 15 x + 50 + 5 x = - 25$

Paso 4.1.2

Suma $15 x$ y $5 x$ .

$x^{2} + 20 x + 50 = - 25$

Paso 4.2

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 20 x + 50 + 25 = 0$

Paso 4.3

Suma $50$ y $25$ .

$x^{2} + 20 x + 75 = 0$

Paso 4.4

Factoriza $x^{2} + 20 x + 75$ con el método AC.

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Paso 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $75$ y cuya suma es $20$ .

$5, 15$

Paso 4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 5) (x + 15) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 15 = 0$

Paso 4.6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4.7

Establece $x + 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.7.1

Establece $x + 15$ igual a $0$ .

$x + 15 = 0$

Paso 4.7.2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 15$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 5) (x + 15) = 0$ verdadera.

$x = - 5, - 15$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ sea verdadera.

$x = - 15$